傅里叶积分

Fourier Integral

当 $T$ 越来越大，取值间隔 $ω_{0} = \frac{2 π}{T}$ 越来越小。 $T \to \infty$ 时，周期函数变为非周期函数，频谱将在 $ω$ 上连续取值，一个非周期函数将包含所有的频率成分

傅里叶级数的离散求和变为连续函数的积分

\begin{array}{r} f (t) = lim_{T \to + \infty} f_{T} (t) = lim_{T \to + \infty} [\sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} f_{T} (τ) e^{- j n ω_{0} τ} d τ] e^{j n ω_{0} t} \end{array}

将取值间隔 $ω_{0}$ 记为 $Δ ω$ ，节点 $n ω_{0}$ 记为 $ω_{n}$ ， $T = \frac{2 π}{ω_{0}} = \frac{2 π}{Δ ω}$

\begin{array}{r} f (t) = \frac{1}{2 π} lim_{Δ ω \to 0} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} [\int_{- \frac{π}{Δ ω}}^{\frac{π}{Δ ω}} f_{T} (τ) e^{- j n ω_{0} τ} d τ \cdot e^{j n ω_{0} t}] Δ ω \end{array}

为和式的极限，按照积分定义写为傅里叶积分：

\begin{array}{r} f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} [f (τ) e^{- j ω τ} d τ] e^{j ω t} d ω \end{array}

$f (t)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上满足条件：

连续点处：

\begin{array}{r} f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} [\int_{- \infty}^{+ \infty} f (τ) e^{- j ω τ} d τ] e^{j ω t} d ω \end{array}

间断点处：

\begin{array}{r} \frac{f (t^{-}) + f (t^{+})}{2} = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} [\int_{- \infty}^{+ \infty} f (τ) e^{- j ω τ} d τ] e^{j ω t} d ω \end{array}

Important

根据欧拉公式以及奇偶函数积分的性质：

\begin{aligned} f (t) & = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} [\int_{- \infty}^{+ \infty} f (τ) e^{- j ω τ} d τ] e^{j ω t} d ω \\ = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} [\int_{- \infty}^{+ \infty} f (τ) e^{j ω (t - τ)} d τ] d ω \\ = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} [\int_{- \infty}^{+ \infty} f (τ) (\cos (ω (t - τ) + j \sin (ω (t - τ)))) d τ] d ω \\ = \frac{1}{π} \int_{0}^{+ \infty} [\int_{- \infty}^{+ \infty} f (τ) \cos ω (t - τ) d τ] d ω \end{aligned}

因为： $\cos ω (t - τ) = \cos ω t \cos ω τ + \sin ω t \sin ω τ$

可以进一步得出：
正弦积分公式：如果 $f (t)$ 为奇函数:

\begin{array}{r} f (t) = \frac{2}{π} \int_{0}^{+ \infty} [\int_{0}^{+ \infty} f (τ) \sin ω τ d τ] \sin ω t d ω \end{array}

余弦积分公式：如果 $f (t)$ 为偶函数:

\begin{array}{r} f (t) = \frac{2}{π} \int_{0}^{+ \infty} [\int_{0}^{+ \infty} f (τ) \cos ω τ d τ] \cos ω t d ω \end{array}

注意

一定要区分积分变量
也要明确被积函数对于各积分变量的奇偶性

就比如上面的积分公式：对于变量 $ω$ 而言，外层积分的被积函数的整体的奇偶性只取决于 $ω$ ，所以无论 $f (τ)$ 是何种函数，都可以进行外层积分的奇偶性化简
而对于内层的被积变量 $τ$ , 内层积分的奇偶性也只取决于与 $τ$ 有关函数的奇偶性
进而可以根据 $f (τ)$ 的奇偶性，细化为正弦积分与余弦积分公式

Dirichlet 积分:

\begin{array}{r} \int_{0}^{+ \infty} \frac{\sin ω t}{ω} d ω = \frac{π}{2} \end{array}